Les booléens
Vocabulaire
Un booléen est une variable qui ne peut prendre que deux états, généralement notés Vrai et Faux (ou 0 et 1). On les code de manière évidente, sur 1 bit.
Vocabulaire
Une opération booléenne consiste à appliquer un opérateur sur une ou des entrée(s) booléennes, pour obtenir un nouveau booléen en sortie.
Une expression boooléenne est un ensemble d'opérations, qui peut être évaluée pour donner un booléen en sortie.
Exemples d'opérateurs booléens:
- L'opérateur NON inverse une entrée : Si l'entrée est à VRAI, la sortie sera à FAUX, et inversement.
- L'opérateur ET prend deux booléens en entrée. La sortie n'est à VRAI que si les deux entrées le sont également.
- L'opérateur OU prend deux booléens en entrée. La sortie est à VRAI si au moins une des deux entrées est VRAIE.
- L'opérateur OU EXCLUSIF prend deux booléens en entrée. La sortie est à VRAI si une seule des deux entrées est VRAIE.
Tables de vérité
Pour représenter un opérateur (et, plus tard, une expression booléenne), on peut utiliser des tables de vérité. Il s'agit d'un tableau énumérant l'ensemble des possibilité pour les entrées (une possibilité par ligne), et donnant le résultat produit en sortie à chaque fois.
| Opérateur NON | |
|---|---|
| a | S |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| Opérateur ET | ||
|---|---|---|
| a | b | S |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| Opérateur OU | ||
|---|---|---|
| a | b | S |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| Opérateur OU EXCLUSIF | ||
|---|---|---|
| a | b | S |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
On peut aussi appliquer l'opérateur NON au résultat d'un opérateur, ce qui donne le résultat inverse. Cela donne les opérateurs NON ET, NON OU, et NON OU EXCLUSIF, souvent utilisés en tant que tels:
| Opérateur NON ET | ||
|---|---|---|
| a | b | S |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| Opérateur NON OU | ||
|---|---|---|
| a | b | S |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| Opérateur NON OU EXCLUSIF | ||
|---|---|---|
| a | b | S |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Expressions booléennes
Pour écrire une expression booléenne, plutôt que d'employer les mots ET, OU, OU EXCLUSIF, on utilise souvent des symboles mathématiques.
- L'opérateur ET est représenté par un point "."
- L'opérateur OU est représenté par un plus "+"
- L'opérateur OU EXCLUSIF est représenté par un plus cerclé "⊕"
- La négation est représentée par une barre horizontale au dessus de l'entrée "a"
Exemples :
- S1 = a.b+c
- S2 = a⊕b.c
- S3 = a.b.c
Remarques
Les opérations booléennes respectent les mêmes priorités que les expressions mathématiques : les parenthèses sont prioritaires, suivies de l'opérateur . (opérateur ET), suivi des opérateurs + et ⊕.
On remarque qu'une barre horizontale de négation se comporte comme des parenthèses. Comme le symbole racine carrée par exemple.
A priorité égale, on évalue dans le sens de la lecture.
Supposons que les trois entrées a, b et c valent respectivement 0, 1 et 0. Évaluons les trois sorties. N'hésitez pas à vous aider des tables de vérité.
- Pour S1, on évalue d'abord a.b qui vaut 0 (0 ET 1), puis 0+c qui vaut 0 (0 OU 0). Donc S1 = 0.
- Pour S2, on évalue d'abord b.c qui vaut 1 (1 ET 1 car NON c vaut 1), puis a⊕1 qui vaut 1 (0 OU EXCLUSIF 1). Donc S2 = 1.
- Pour S3, on évalue d'abord a.b qui vaut 1 (0 NON ET 1), puis 1.c qui vaut 0 (1 ET 0). Donc S3 vaut 0.